Statika Konstruksi Balok Sederhana

Macam-macam Gaya dalam Struktur Bangunan

3.5. Statika Konstruksi Balok Sederhana

3.5.1. Bagian Struktur Bangunan

Umumnya bangunan sipil terdiri dari beberapa komponen struktur. Komponen struktur utama tersebut dapat berupa rasuk, komponen struktur yang membentang, dan kolom, bagian struktur yang menerima gaya aksial dan menyalurkannya ke struktur pondasi.

Komponen yang membentang tersebut dapat berupa balok maupun berupa rangka batang (truss). Balok merupakan gelagar tunggal yang menerima beban lentur atau momen lentur. Sedangkan rangka batang merupakan rangkaian batang tunggal yang disusun agar bagian batang tersebut tidak menahan momen. Bentuk lain dari komponen struktur dapat pula berupa rangka kaku (frame work).

Gambar Bentuk struktur utama : (a) Balok Konsol, (b) Balok dua dudukan, (c) Rangka Batang, (d) Rangka Kaku, (e) Rangka 3 sendi

Sumber: Hasil penggambaran

3.5.2. Dudukan dan Tumpuan (Support)

Dudukan suatu struktur bangunan dapat berupa dudukan kaku atau jepitan, paduan dudukan sendi dan dudukan gelinding (rol) atau gelincir.
Dudukan itulah yang nantinya diperhitungkan besaran komponen reaksinya dengan menggunakan syarat kesetimbangan. Syarat kesetimbangan atau stabilitas dalam struktur statis seperti gambar 3.30.(a) dan 3.30.(b), adalah sebagai berikut:

∑ H = 0 , ∑ V = 0, ∑ M = 0 atau
∑ X = 0 , ∑ Y = 0, ∑ M = 0 (3.3)

1. Dudukan Jepit Kaku Tunggal
Dudukan jepit kaku tunggal sering disebut sebagai struktur konsol. Dudukan ini dapat menerima atau menguraikan gaya menjadi 3 (tiga) komponen reaksi, yaitu ∑ H = 0 , ∑ V = 0, ∑ M = 0. Dudukan jepit kaku tunggal ini dapat ditunjukkan pada Gambar berikut.

2. Dudukan Ganda untuk Balok
Dudukan ganda ini utamanya untuk balok atau rangka batang.
Bentuk dudukan ini dapat berupa dudukan sendi atau engsel (hinge) dan dudukan gelinding (rol) atau dudukan gelincir. Dudukan gelincir tersebut dimasudkan agar batang struktur dan dudukan tidak menerima tarikan atau tekanan akibat melenturnya batang atau balok yang disangga. Dudukan tersebut memungkinkan batang yang ditumpu dapat berputar dengan bebas jika terjadi lenturan. Karenanya dudukan tidak menahan komponen reaksi momen.

Gambar Bentuk dudukan : (a) dudukan jepit kaku, (b) balok dengan sendi dan dudukan gelincir – gelinding

Sumber: Hasil penggambaran

Pada dudukan sendi, dudukan A, akan menghasilkan komponen reaksi vertikal (V) dan horisontal (H), sedangkan dudukan gelinding atau gelincir, dudukan B, hanya akan menerima komponen reaksi vertikal (V) saja. Ilustrasi dudukan ini dapat ditunjukkan pada Gambar 3.31(b).

3.5.3. Analisis Balok Statis Tertentu

Bagian ini akan memberikan analisis dasar untuk balok dengan berbagai bentuk arah beban baik secara analitis perhitungan maupun grafis untuk menentukan besarnya komponen reaksi dudukan. Pada bagian ini pula dipresentasikan diagram gaya, yakni besarnya gaya baik itu gaya lintang, normal maupun momen di sepanjang batang struktur.

a) Balok Terjepit Sebelah (Konsol) dengan Beban Terpusat

Beban terpusat yang bekerja pada konsol dapat saja berupa beban vertikal, miring atau diagonal maupun horisontal. Untuk dapat menganalisis serta menghitung balok ini harus telah menguasai kesepakatan tanda presentasi gaya lintang, normal maupun momen (Gambar).

Gambar Konsol dengan beban terpusat

Sumber: Hasil analisis

Cara Analitis:
Besaran Komponen Reaksi secara analitis adalah sebagai berikut:

􀈈 VA = 0 RAV - P1 - P2V -P3 = 0 RAV = P1 + P2V + P3 RAV = 0.40 + (1.0 x Sin 45o) + 0.80 RAV = 0.4 + 0.7 + 0.8 = 1.9 Ton (􀄹) 􀈈 HA = 0 RAH + P2H = 0 RAH = -- (1.0 x Cos 45o) RAH = -- 0.7 Ton (􀄸) 􀈈 MA = 0, MA + P1 . 0.5+ P2V (0.5+0.6) + P3 *(0.5+0.6+0.6) = 0 MA = -- 2.41 Ton Meter ( Berlawanan jarum jam)

Besaran Gaya Geser / Gaya Lintang
Besaran gaya geser pada tiap bagian di sepanjang konsol dapat dihitung sebagai berikut:

Bagian Batang AC Bagian Batang CD Bagian Batang DB
DA = DC = RA DA = DC = 1.90 Ton DC = DD = Ra – P1 DC = 1.90 – 0.4 = 1.50 Ton DD = DC – P2V = 1.50 – 10 sin 45 DD = DB1 = 1.5 – 0.7 = 0.8 ton DB2 = DB1 - 0.8 = 0

Besaran Momen Lentur
Besaran lenturan di tiap titik dapat dihitung menurut persamaan dengan variabel panjang di setiap bentang batang sebagai berikut. Karena beban yang bekerja adalah beban terpusat, maka persamaan momen pada persoalan tersebut merupakan persamaan variabel berpangkat 1 atau persamaan garis lurus

Bagian batang AC Bagian batang CD Bagian Batang DB Persamaa: Mx = - MA – RA*x MA = -2.41+(1.9*0) = 2.41 t.m MC = -2.41+(1.9 x 0.5) = 1.46 t.m Pers : Mx = -Ma+RA *x+P1*(x-0.5) MD =-2.41+1.90*(1.1)- 0.4(0.6) MD = -0.56 Ton meter Pers : Mx = -Ma+ RA*x + P1*(x-0.5)- P2V*(x-1.1) MB =-2.41+1.9*1.7+0.4*1.2+0.7*0.6) MB ≈ 0

Besaran Gaya Normal
Akibat beban P2 yang miring dengan sudut 45°, bagian batang konsol A – D mengalami tarikan sebesar P₂ Cos 45 = 1.0*sin 45 = 0.70 ton. Sebagaimana ditunjukkan pada diagram di atas.

b) Balok Konsol dengan Muatan Terbagi Merata.

Muatan merata / terbagi dinyatakan dalam besaran beban per satuan panjang. Beban ini dapat ditemui pada beban sendi gelagar. Contoh persoalan dengan beban terbagi rata dapat dilihat pada Gambar. berikut.

Gambar Balok konsol dengan beban terbagi merata

Sumber: Hasil analisis

c) Balok Konsol dengan Muatan Terbagi Segitiga.
Muatan terbagi segitiga dapat dijumpai pada muatan yang diakibatkan oleh tekanan hidrostatika maupun tekanan tanah pada dinding penahan tanah. Jika muatan tersebut di kerjakan pada konsol, analisis dan ilustrasinya dapat ditunjukkan pada Gambar.

Gambar Muatan terbagi segitiga pada struktur konsol

Sumber: Hasil analisis

d) Balok di atas Dua Dudukan

Bentuk dudukan untuk struktur balok statis tertentu umumnya salah satu dudukan itu berupa dudukan sendi (hinge) sedang dudukan lain berupa dudukan gelinding (rol) atau dudukan gelincir (sliding support). Dudukan ini dimaksudkan agar batang struktur tidak menahan beban tambahan akibat lendutan atau pengaruh lain terkait dengan kembang susut batang struktur.
Dudukan sendi dapat menahan komponen reaksi vertikal dan komponen reaksi horisontal RV dan RH. Sedangkan dudukan gelinding atau gelincir hanya dapat menahan beban bertikal RV saja. Ilustrasi penyelesaian secara grafis dan Analitis ditunjukkan pada Gambar 3.35.

Gambar Balok di atas dua tumpuan

Sumber: Hasil analisis

Besaran momen yang terjadi berdasarkan diagram yang dibentuk dari lukisan kutub tersebut dapat di tentukan dengan mengukur yMx pada diagram dan mengalikan dengan jarak titik kutub d dengan memperhitungkan skala gaya yang telah ditentukan sebelumnya.

Mx = y_Mx*d (ton meter)

Cara Analitis.
Menentukan komponen reaksi
Untuk menentukan komponen reaksi di tiap dudukan berlaku persamaan kestabilan ∑ M = 0 . Berlaku pula persamaan kestabilan ∑ V = 0 atau ∑ P + ∑ R = 0 pada struktur tersebut.

Di dudukan A 􀈈MA = 0 P1*2+P2*6-VB*8 = 0 VB = (2*2+1*6)/2 = 1.25 Ton Di dudukan B 􀈈MB = 0 P2*2+P1*6-VA*8 = 0 VA = (1*2+2*6)/8 = 1.75 Ton 􀈈 V = 0 atau 􀈈 P + 􀈈V = 0 -P1-P2+VA+VB = 0 -2-1+1.75+1.25 = 0 (ok)
Catatan : Tanda + dan – pada persamaan diberikan berdasarkan arah gaya.

Diagram Gaya Lintang
Untuk mempresentasikan gaya dalam bentuk diagram gaya, tinjau di tiap bagian batang sebagai berikut.

Bagian batang AC Bagian batang CD Bagian Batang DB
DA = VA = 1.75 ton DC = DA = 1.75 ton DC = VA-P1 = 1.75 – 2 = - 0.25 ton DD = DC = 0.25 ton DD = VA-P1-P2 = 1.75 – 2-1 = -1.25 ton DB1 = DD = -1.25 ton DB2 = DB1+VB = 0 Diagram Momen Bagian batang AC Bagian batang CD Bagian Batang DB Persamaan: Mx = VA*x MA = 0 (sendi tak menahan momen) MC = VA*2) =+1.75*2 =+3.50 ton.meter Pers : Mx = VA*x-P1*(x-2) MD =1.75*6-2*(6-2) = 2.5 ton.meter M X=1/2L =1.75*4-2*(4-2) = 3 ton.meter Pers : Mx = VA-P1*(x-2)- P2*(x-6) MB =1.75*8-2*(8-2)-1*(8-6) MB = 0 (ok)

e) Balok Dua Dudukan dengan Beban Miring.

Penyelesaian struktur balok oleh beban miring pada dasarnya hampir sama dengan penyelesaian beban tegak lurus dan melintang seperti pada contoh soal sebelumnya. Perbedaannya adalah bahwa beban miring tersebut mengakibatkan gaya normal yang harus ditahan oleh dudukan maupun batang balok. Perhatikan contoh dengan ilutrasi pada Gambar.
Besaran momen yang terjadi berdasarkan diagram yang dibentuk dari lukisan kutub tersebut dapat di tentukan dengan mengukur y_Mx pada diagram dan mengalikan dengan jarak titik kutub d yang telah memperhitungkan skala gaya maupun panjang yang telah ditentukan. Mx = y_Mx*d (ton meter)

Gambar Struktur balok dua dudukan dengan beban miring

Sumber: Hasil analisis

Cara Analitis.
Menentukan komponen reaksi. Untuk menentukan komponen reaksi di tiap dudukan berlaku persamaan kestabilan ∑ M = 0 dan ∑ V = 0 atau ∑ P + ∑ R = 0 di kedua dudukan struktur tersebut.

Di dudukan A
􀈈MA = 0
P1v*2+P2*4+P3V*6-VB*8 = 0
P1*Sin 45o*2+P2*4+P3*Sin 30o*6-
VB*8=0
VB = (2.5*Sin
45*2+2*4+1*Sin30*6)/8 = 1.82 Ton
Di dudukan B
􀈈MB = 0
-P1v*6-P2*4+P3V*2-VA*8 = 0
P1*Sin 45o*6+P2*4+P3*Sin 30o*2-
VB*8=0
VB = (2.5*Sin
45*6+2*4+1*Sin30*2)/8 = 2.45 Ton
􀈈 V = 0 atau 􀈈 P + 􀈈V = 0
-P1v-P2-P3v+VA+VB = 0
-2.5*Sin 45o-2-1*Sin30+1.82+2.45 = 0 (ok)
-2.5*0.7071-+2-1*0.5 +1.82+2.45 = 0
0 = 0 (ok)

Catatan : Tanda + dan – pada persamaan diberikan berdasarkan arah gaya. Untuk momen searah jarum jam bertanda positif dan sebaliknya. Untuk arah gaya ke atas bertanda positif dan sebaliknya.

Gaya Lintang (D)
Untuk menghitung/menyelesaikan secara analitis besarnya gaya lintang untuk presentasi dalam bentuk diagram gaya, tinjau di tiap bagian batang. Semua perhitungan yang dicantumkan meninjau sebelah potongan batang struktur.

Bagian batang AC Bagian batang CD
DA = VA = 2.45 ton
DC = DA = 2.45 ton
DC = VA-P1v
= 2.45 – 2.5*Sin 45o
.... = 0.68 ton
DD = DC = 0.68 ton
Bagian Batang DE Bagian Batang EB
DD = VA-P1v-P2
=2.45–2.5*Sin 45o-2
= - 1.32 ton
DE = DD = -1.32 ton
DE = VA-P1v-P2-P3v
=2.45–2.5*Sin 45o-2-1*Sin 30o
= - 1.82 ton
DB1 = DD = -1.82 ton
DB2 = DB1+VB = - 1.82 + 1.82 = 0

Dari penyelesaian cara grafis maupun analitis diperoleh bahwa gaya lintang maksimum pada batang berada pada bagian batang A – C = VA = 2.45 ton. Besaran gaya lintang inilah yang akan diperhitungkan untuk kekuatan dudukan struktur dan batang atau untuk keperluan sambungan pada batang struktur.

Diagram Momen (M)
Besaran momen yang terjadi di sepanjang batang dengan jarak x sebesar Mx di masing-masing titik tinjauan dapat ditunjukkan sebagai berikut:

Bagian batang AC Bagian batang CD
Mx = VA*x
MA = 0
MC = VA*2 = 2.45*2
= 4.90 ton.meter
Mx = VA*x-P1v*(x-2)
MC = VA.2 = 2.45*2
= 4.9 ton.meter
MD = VA*4-P1v*(4-2)
= 2.45*4-2.5*Sin 45o*2
= 6.26 ton meter
Bagian Batang DE Bagian Batang DB
MX = VA*x-P1v*(x-2)
-P2*(x-4)
MD =2.45*4–2.5*Sin 45o*(4-2)
= 6.32 ton.meter
ME =2.45*6–2.5*Sin 45o*(6-2)
-2*(6-4)
= 3.63 ton meter
MX = VA*x-P1v*(x-2)-P2*(x-4)-P3v*(x-6)
ME =2.45*6–2.5*Sin 45o*(6-2)
-2*(6-4) = 3.63 ton.meter
MB = 2.45*8–2.5*Sin 45o*(8-2)
-2*(8-4)-P3*Sin 30o*(8-6)
..... = 0

Dari penyelesaian grafis maupun analitis didapatkan bahwa momen maksimum terjadi di titik D (tengah bentang batang) MD = 6.32 ton meter.
Momen maksimum inilah yang akan diperhitungkan untuk perancangan batang struktur akibat momen lentur.

Diagram Gaya Normal (N)
Gaya miring P1 dan P3 memberikan gaya normal pada batang struktur sebesar masing-masing P1H = Cos 45° (kekanan) dan P3H = P3 Cos 30° (kekiri). Besar gaya normal di tiap bagian batang dihitung sebagai berikut.

􀈈 H = 0
HA+P1H-P3H=0
HA+2.5*Cos 45o-1*Cos30o=0
HA = - 2.5*Cos 45o+1*Cos30o
= -.90 ton ( )
Bagian batang AC Bagian batang CE Bagian Batang EB
NA = HA = 0.90 ton (+ / Tarik)
NC = HA
NC = HA-P1H
= 0.90-2.5*Cos 45o
.... = -0.87 ton (- / Tekan
NE = NC
NE = HA-P1H-P3H
= 0.90-2.5*Cos 45o-1*Cos 30o
= 0

f) Balok Dua Dudukan dengan Beban Terbagi Rata

Penentuan komponen reaksi dan gaya dalam pada struktur balok dua dudukan dengan beban terbagi merata pada soal pada gambar.

Menentukan komponen reaksi
Untuk menentukan komponen reaksi di tiap dudukan berlaku persamaan kestabilan ∑ M = 0 dan ∑ V = 0 atau ∑ P + ∑ R = 0 di kedua dudukan struktur tersebut.

Di dudukan A
􀈈MA = 0
q*L*1/2*L-VB*L = 0
VB = ½*q*L= ½*1.5*8 = 6 ton
Di dudukan B
􀈈MB = 0
-q*L*1/2*L+VA*L = 0
VA = ½*q*L= ½*1.5*8 = 6 ton

Gambar Balok dua dudukan dengan beban terbagi rata

Sumber: Hasil analisis

Gaya Lintang D dan Momen M
Besaran Gaya lintang dan momen lentur M di sepanjang batang dengan jarak x sebesar masing-masing Dx dan Mx dihitung dengan persamaan sebagai berikut:

Gaya Lintang D Momen Lentur M
Persamaan Dx = VA-qx
DA = VA (+ / positif) = +6 ton
DC = VA-1/2*q*L = 6-1/2*1.5*8 = 0 ton
DB1 = VA-q*L = 6-1.5*8 = -6 ton
DB2 = VA-q*L+VB = 6-1.5*8+6 = 0 ton
Persamaan: Mx = VA*x-(q*x)*(1/2*x)
= VA*x-1/2*q*x2
MA = 0
MC x = 4 m= 6*4-1/2*1.5*42 = 12 ton meter
MB = 0

Sebagaimana ditunjukkan di atas, persamaan momen merupakan persamaan berpangkat 2/persamaan kuadrat. Karenanya diagram momen merupakan diagram garis lengkung/parabolik. Letak momen maksimun dapat diperoleh dari persamaan diferensial dMx/dx atau Dx = 0

dMx/dx = 0
VA-q*x = 0
X = VA/q = 6/1.5 = 4 m (dari A)

Dengan begitu Momen Maksimum dari persamaan Mx = VA*x-1/2*q*x²
Dicapai jika x = 4 m dan dapat dihitung sebagai berikut

M maks = VA*4-1/2*1.5*4² = 24 – 12 = 12 ton meter

g) Balok di atas Dua Dudukan dengan Beban Terbagi Segitiga

Untuk menyelesaikan persoalan balok di atas dua dudukan dengan beban terbagi segitiga pada prinsipnya hampir sama dengan beban terbagi segitiga pada konsol. Jika besaran beban maksimum terbagi segitiga tersebut sebesar q ton/meter, maka muatan terbagi sepanjang x dapat ditentukan sebesar qx = x/L*q.

Dengan memperhatikan titik berat segitiga, penyelesaian untuk contoh soal
pada Gambar 3.38 dapat dikemukakan sebagai berikut.

Besaran Komponen Reaksi.

Di dudukan A
∑MA = 0
q*L/2*1/3*L-VB*L = 0
VB = 1/6*q*L² /L= 1/6*q*L
VB = 1/6*1.5*6 = 1.5 ton

Di dudukan B
∑MB = 0
-q*L/2*2/3*L+VA*L = 0
VA = 1/3*q*L²/L=1/3*q*6
VA = 3 ton

Gambar Contoh soal balok dua dudukan dengan beban segitiga.

Sumber: Hasil analisis

Gaya Lintang D dan Momen M
Besaran Gaya lintang D dan momen lentur M di sepanjang batang dengan jarak x dari B dihitung dengan persamaan sebagai berikut.

Gaya Lintang D
Persamaan Dx = VB-qx*x/2 = VB-
(x/L*q)*x/2
= VB-1/2*q*x²/L
DB = VB = 1.5 ton (+ / positif)
D_{x = 4} = VB-1/2*q*(4)²/6 = -0.5 ton

Momen Lentur M
Persamaan: Mx = VB*x-(x/L*q*x/2)*(1/3*x)
= VB*x-1/6*q*x³/L
MA = 0
M_{x = 4 m}= 6*4-1/6*1.5*4³/6 = 3.33 ton meter

Momen Maksimum
Momen maksimum diperoleh jika turunan pertama dMx/dx dari persamaan
Mx = 0 ,
dMx/dx = VB-1/2*q*x²/L
0 = 1.5-1/2*1.5*x²/6
X ² = 2*L
X = √2L

M maks = VB*√2*L -1/6*q*(√2*L )³/L, dimana VB = 1/6*q*L
= (1/6*q*L)*(√2*L)- 1/6*q*(√2*L )³/L
= 0.0642*q*L²

h) Balok Dua Dudukan dengan Beban Trapesium

Penentuan komponen reaksi dan gaya dalam pada struktur balok dua dudukan dengan beban trapesium seperti pada Gambar dapat diselesaikan dengan menggunakan prinsip penyelesaian beban terbagi rata dan beban segitiga.

Gambar Balok dua dudukan dengan beban trapesium
Sumber: Hasil penggambaran

Menentukan komponen reaksi
Untuk menentukan komponen reaksi di tiap dudukan dengan beban simetris dapat dihitung sebagai berikut.

Reaksi dudukan A = reaksi dudukan B
∑ R = q*b+q*a
RA = RB = ½* q*(b+a)
MC = (RA*a)-q*a/2*(1/3*a)
MC = ½* q (b+a)*a-q*a/2*(1/3*a)
M maks = Mc+1/8*q*b²

i) Balok Dua Dudukan Beban Gabungan

Penyelesaian beban gabungan dari suatu atau lebih macam gaya, dapat diselesaikan secara terpisah berdasarkan jenis beban dan selanjutnya dilakukan superposisi. Cara superposisi prinsipnya adalah menjumlahkan gaya yang timbul akibat masing-masing jenis beban. Perhatikan contoh soal seperti pada Gambar.